3e calcul littéral

Cette séance porte à la fois sur le calcul littéral et sur un travail de méthode (choix de la bonne approche pour aborder une question mathématique). Le support choisi est constitué d’extraits de Diophante, Viète et Fermat.

La fiche élève : 3_litteral_fiche_eleve

Niveau : troisième / Année 2011

Extrait 1 : La dimension historique au service des élèves

Les premières minutes de la séance (coupées au montage) sont consacrées à des rappels sur les identités remarquables. Plusieurs élèves vont successivement au tableau pour y noter les résultats vus les années précédentes.

Au début de l’activité, l’enseignant évoque rapidement les noms des auteurs qui seront rencontrés dans l’heure, mais il insiste surtout sur l’objectif méthodologique de la séance.

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Extrait 2 : Approche par essais-erreurs sur le problème de Diophante

La fiche donnée aux élèves comporte quelques phrases permettant de situer historiquement l’extrait de Diophante proposé. Ces phrases sont lues à voix haute par un élève.

L’histoire vient légitimer le problème proposé aux élèves qui s’engagent ensuite dans une phase de recherche et une première méthode, par essais-erreurs, est proposée.

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Extrait 3 : Deuxième méthode

Dans cet extrait une élève propose une approche par le calcul littéral. Sur cet exemple, il n’est pas possible à des élèves de troisième de mener le calcul jusqu’au bout, mais la méthode est quand même retenue par le professeur.

Comme dans l’extrait précédent, le travail est focalisé sur les mathématiques et les aspects historiques sont provisoirement mis de côté.

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Extrait 4 : Bilan d’étape et premières difficultés

L’enseignant fait une rapide synthèse des deux méthodes employées dans la première partie de l’activité et engage ensuite la deuxième partie du travail sur des extraits de texte de Viète.

La lecture de ce texte, écrit en langage naturel, va entrainer des difficultés de compréhension.

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Extrait 5 : Texte historique – travail mathématique

Dans cet extrait, le professeur rebondit sur une difficulté (attendue) des élèves dans la confusion entre les expressions « somme des carrés » et « carré de la somme ».

La lecture du texte historique donne l’occasion d’un travail sur le langage mathématique, d’une mise en regard des expressions de la langue naturelle et du langage symbolique.

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Extrait 6 : Calcul numérique et calcul littéral

Au tableau, un élève présente le début de la vérification de l’égalité sur un exemple. Il parvient à exprimer en chiffres et en symboles le premier membre de l’égalité mais peine à traduire l’expression « carré de la différence ». Des échanges avec la classe permettent de terminer ce travail qui est l’occasion de revenir sur les priorités entre les opérations.

D’un travail sur la terminologie, l’enseignant passe aux calculs numériques, puis revient au calcul littéral comme outil de preuve. Comme pour le problème de Diophante, deux aspects sont en jeu : le choix d’une méthode et l’interprétation du texte.

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Extrait 7 : Fin de la partie mathématique

Comme au début de la séance, la résolution par le calcul littéral est mise en parallèle de calculs sur des valeurs numériques.

On note la présence de formulations stéréotypées comme « soustraire, c’est ajouter l’opposé » et « un exemple ne prouve rien » qui fonctionnent comme des repères pour les élèves.

L’extrait se termine par la mise en valeur du calcul littéral comme méthode pour « pouvoir généraliser ».

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Extrait 8 : Et sur le plan historique ?

A l’issue de la séance, le professeur réinvestit la dimension historique de l’activité en engageant une discussion épistémologique sur l’évolution des mathématiques. L’enseignant semble attendre une mise en regard des différents types de langage utilisés en mathématiques (naturel / symbolique).

Les élèves réaffirment l’intérêt du calcul littéral comme outil de preuve générale, mais ne parviennent  pas à se situer dans le débat initié par l’enseignant. Le professeur propose alors sa propre vision du « progrès » mathématique. L’écriture symbolique serait plus « simple », plus « lisible » que l’écriture en langage naturelle, « à condition d’avoir le code ».

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