Multi-niveaux racine cubique

Il s’agit ici d’extraits d’un travail sur l’extraction d’une racine cubique à l’aide d’une règle et de deux équerres.

Dans les séances filmées, la contextualisation historique est très sommaire, mais elle contribue à justifier l’usage particulier des instruments dans cette méthode inspirée de l’Antiquité.

On trouvera une présentation historique du problème de la duplication du cube dans l’ouvrage dirigé par E.Hébert, Instruments scientifiques à travers l’histoire (Ellipses, 2004, pp.299-313) et plus particulièrement de l’usage des équerres par Bernard Lamy (1640-1715) et Eutocius d’Ascalon (VIe siècle après J.-C.) (ibid pp. 308-309). La position finale des instruments de cette méthode parfois attribuée à Platon apparaît dans de nombreux écrits (Descartes par exemple), néanmoins, les mouvements des équerres ou des règles et la manière de les ajuster sont rarement évoqués. Sur ce point, le texte d’Eutocius est un précieux témoignage car on y voit des instruments glisser et se déplacer, rendant compte de la dimension kinesthésique de la technique.

La même activité a été mise en œuvre sur plusieurs niveaux : 3e, 2nde et Licence 3 pluri-disciplinaire.

La fiche élève : Multi_cubique_fiche_eleve

Niveau : troisième / Année 2011, seconde / Année 2012, L3 pluri  / Année 2013

Extrait 1 : Début de la séance, présentation de la tâche

L’extrait proposé se déroule en classe de seconde. Cette partie de la séance est menée par une étudiante de master 1 et fait suite à un travail sur les racines carrées (en lien avec le théorème de Pythagore).

Dans tous les extraits qui vont suivre, quel que soit le niveau, il a été décidé de donner très peu de consignes quant à la mise en œuvre de la méthode. Les élèves ou les étudiants doivent découvrir seuls les manipulations des instruments.

En classe de troisième, l’activité a été simplement introduite par une mise une place de la définition d’une racine cubique sur des exemples numériques en lien avec le problème de la duplication du cube. La séance est une expérimentation.

En licence pluri-disciplinaire, il s’agit de la fin d’une séance de TD de 2 heures au cours de laquelle, à l’appui d’extraits de la Géométrie de Descartes, toute une première partie était consacrée à des tracés de quantités (longueur de segments) à la règle et au compas (double, multiples, … , moitié, tiers, … , AxB, A/B, … , racine carrée). Le cas de l’extraction d’une racine cubique est lié au théorème de Wantzel sur la constructibilité à la règle et au compas (simplement cité à ce niveau).

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Extrait 2 : Un nouvel usage des instruments

Pour obtenir le résultat escompté, il est nécessaire de procéder à des ajustements du positionnement des instruments. Dans son usage courant, une règle ou une équerre ne fait l’objet que d’une ou deux contraintes (passer par un point, être perpendiculaire à une droite, passer par deux points, …), ici la présence de multiples contraintes sur la position des instruments et sur les points d’intersection rend la procédure inhabituelle.

Dans cet extrait en classe de seconde, on constate que certaines contraintes sont prises en compte au détriment d’autres (par exemple, le côté de l’équerre va passer par le point, mais elle se détache de la règle, l’angle droit n’est donc plus respecté).

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Extrait 3 : Des contraintes et des erreurs

Dans cette expérimentation en classe de troisième, la situation est identique et la non prise en compte de certaines conditions entraîne un tracé erroné à la fin de l’extrait.

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Extrait 4 : C’est impossible !

Un autre exemple de manipulation en classe de troisième.

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Extrait 5 : Lecture de figure

La mise en œuvre correcte de la méthode nécessite à la fois une remise en cause de l’usage des instruments et une lecture attentive de la figure proposée dans l’énoncé. En l’absence de consignes explicites sur les mouvements d’ajustement de la règle et des équerres, la figure est en effet le seul point d’appui pour la réflexion des étudiants.

Ici, ce sont deux étudiants de licence 3 pluri-disciplinaire qui s’approprient cette technique d’extraction de la racine cubique.

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Extrait 6 : Conclusion

Un exemple de synthèse au tableau à l’issue de l’activité. Ici, en licence 3 pluri-disciplinaire, il s’agit d’un simple bilan de la technique. Selon le niveau et les besoins, une réelle mise en commun dialoguée avec les élèves peut être utile.

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